Etichete

, , , , , , , , , , , ,

Foreword: This article („Koch Snowflake”) first appeared in English on the „Math Fun Facts” website, and is authored by Professor Francis Edward Su. It has been translated into Romanian by the author’s permission. You can view the original article here:

http://www.math.hmc.edu/funfacts/ffiles/20006.3.shtml

Fulgii de zăpadă sunt creaţii uimitoare ale naturii. Ei par să aibă o structură complexă indiferent de cât de aproape sunt priviţi. Un mod în care se poate modela un fulg de zăpadă este prin folosirea unui fractal, care reprezintă orice obiect matematic înfăţişând „asemănare cu sine” la toate nivelurile.

Figura 1

Fulgul de zăpadă Koch este construit după cum urmează. Începeţi cu un segment de dreaptă. Împărţiţi-l în 3 părţi egale. Ştergeţi partea din mijloc şi înlocuiţi-o cu partea superioară a unui triunghi echilateral. Acum, repetaţi această procedură pentru fiecare dintre cele 4 segmente ale acestui al doilea pas. Vedeţi Figura 1. Dacă veţi continua să repetaţi această procedură, curba nu se va intersecta pe sine niciodată, şi, la limită, veţi obţine o formă cunoscută sub numele de fulgul de zăpadă Koch.

În mod surprinzător, fulgul de zăpadă Koch este o curbă de lungime infinită!

Şi, dacă începeţi de la un triunghi echilateral şi realizaţi această procedură pentru fiecare latură, veţi obţine un fulg de zăpadă, care are suprafaţă finită, dar contur de lungime infinită!

Sugestie de prezentare:
Desenaţi figuri. Dacă le place acest fapt distractiv, întrebaţi-i: puteţi să vă daţi seama cum se poate construi un exemplu 3-dimensional? [Indiciu: porniţi cu un tetraedru regulat. Citiţi despre tetraedrul Koch ca să vedeţi ce se întâmplă.]

Matematica din spatele acestui fapt:
Puteţi vedea că acel contur al fulgului de zăpadă are lungime infinită dacă urmăriţi lungimea lui la fiecare pas al procesului, ea creşte de 4/3 ori de fiecare dată când procesul este repetat. Pe de altă parte, suprafaţa din interiorul fulgului creşte precum o serie infinită, care este geometrică şi converge la o suprafaţă finită! Puteţi învăţa despre fractali la un curs despre sisteme dinamice.

Referinţe:
K. Falconer, Fractal Geometry.

Fapt matematic distractiv sugerat de: Jorge Aarao.

Alte menţiuni, ale traducătorului (adică ale mele)

Acest articol a fost publicat iniţial în limba engleză, pe site-ul „Math Fun Facts”, găzduit de către Departamentul de Matematică al Harvey Mudd College. Autorul articolului este profesorul de matematică Francis Edward Su. Traducerea articolului s-a realizat cu acordul autorului. Articolul original este disponibil la:

http://www.math.hmc.edu/funfacts/ffiles/20006.3.shtml

Site-ul „Math Fun Facts” a primit în anul 2006 din partea AMS (American Mathematical Society): Award for an Exemplary Program or Achievement in a Mathematics Department (care s-ar putea traduce: „Premiu pentru un program sau o realizare exemplară într-un departament de matematică”). Site-ul este disponibil la adresa următoare:

http://www.math.hmc.edu/funfacts/

Profesorul Francis Edward Su predă la Departamentul de Matematică al Harvey Mudd College, din Claremont, California, Statele Unite. Acesta şi-a obţinut doctoratul în matematică la Harvard University (din Statele Unite).

Mulţumiri speciale: Îi mulţumesc din suflet pentru că a fost de acord ca o parte din articolele sale, din munca sa, să fie tradusă pe acest blog. Sunt cu adevărat onorat.

Special thanks: I thank Professor Francis Edward Su from the bottom of my heart for offering me the opportunity to translate a few of his articles, from his work, and to include them on this blog. I am truly honored.