Etichete

, , , , , , , , , , , , ,

Foreword: This article („All Horses are the Same Color”) first appeared in English on the „Math Fun Facts” website, and is authored by Professor Francis Edward Su. It has been translated into Romanian by the author’s permission. You can view the original article here:

http://www.math.hmc.edu/funfacts/ffiles/30002.8.shtml

Dacă ştiţi cum să demonstraţi lucruri prin inducţie, atunci acesta este un fapt uimitor:

Teoremă. Toţi caii sunt de aceeaşi culoare.

Demonstraţie. Vom folosi inducţia în funcţie de numărul de cai. Verificare: 1 cal. În mod clar, dacă există doar 1 cal, atunci toţi caii sunt de aceeaşi culoare.

Acum, pentru pasul de inducţie: vom arăta că dacă este adevărat pentru orice grup de N cai că toţi au aceeaşi culoare, atunci este adevărat pentru orice grup de N+1 cai.

Aşadar, oricare ar fi mulţimea de N+1 cai, dacă excludeţi ultimul cal, obţineţi o mulţime de N cai. Din ipoteza pasului de inducţie, ştim că aceşti N cai au toţi aceeaşi culoare. Dar excluzând primul cal din mulţimea de N+1 cai, puteţi trage concluzia că ultimii N cai au de asemenea aceeaşi culoare. Deci toţi N+1 caii au aceeaşi culoare. QED.

Hmmn… în mod clar nu toţi caii au aceeaşi culoare. Deci ce e greşit la această demonstraţie prin inducţie?

Sugestie de prezentare:
Această enigmă fermecătoare este un test excelent pentru cât de bine au înţeles elevii demonstraţiile prin inducţie.

Matematica din spatele acestui fapt:
Indiciu: ce poate fi greşit? Aţi făcut verificarea. Şi aţi demonstrat pasul de inducţie, nu?

Păi, de fapt, demonstraţia din pasul de inducţie s-a rupt în trecerea de la n=1 la n=2, deoarece primul 1 cal şi ultimul 1 cal nu au cai în comun, şi prin urmare ei s-ar putea să nu aibă toţi aceeaşi culoare.

Fapt matematic distractiv sugerat de: Arthur Benjamin.

Alte menţiuni, ale traducătorului (adică ale mele)

Acest articol a fost publicat iniţial în limba engleză, pe site-ul „Math Fun Facts”, găzduit de către Departamentul de Matematică al Harvey Mudd College. Autorul articolului este profesorul de matematică Francis Edward Su. Traducerea articolului s-a realizat cu acordul autorului. Articolul original este disponibil la:

http://www.math.hmc.edu/funfacts/ffiles/30002.8.shtml

Site-ul „Math Fun Facts” a primit în anul 2006 din partea AMS (American Mathematical Society): Award for an Exemplary Program or Achievement in a Mathematics Department (care s-ar putea traduce: „Premiu pentru un program sau o realizare exemplară într-un departament de matematică”). Site-ul este disponibil la adresa următoare:

http://www.math.hmc.edu/funfacts/

Profesorul Francis Edward Su predă la Departamentul de Matematică al Harvey Mudd College, din Claremont, California, Statele Unite. Acesta şi-a obţinut doctoratul în matematică la Harvard University (din Statele Unite).

Mulţumiri speciale: Îi mulţumesc din suflet pentru că a fost de acord ca o parte din articolele sale, din munca sa, să fie tradusă pe acest blog. Sunt cu adevărat onorat.

Special thanks: I thank Professor Francis Edward Su from the bottom of my heart for offering me the opportunity to translate a few of his articles, from his work, and to include them on this blog. I am truly honored.