Fulgul de zăpadă Koch / „Koch Snowflake”

Etichete

, , , , , , , , , , , ,

Foreword: This article („Koch Snowflake”) first appeared in English on the „Math Fun Facts” website, and is authored by Professor Francis Edward Su. It has been translated into Romanian by the author’s permission. You can view the original article here:

http://www.math.hmc.edu/funfacts/ffiles/20006.3.shtml

Fulgii de zăpadă sunt creaţii uimitoare ale naturii. Ei par să aibă o structură complexă indiferent de cât de aproape sunt priviţi. Un mod în care se poate modela un fulg de zăpadă este prin folosirea unui fractal, care reprezintă orice obiect matematic înfăţişând „asemănare cu sine” la toate nivelurile.

Figura 1

Fulgul de zăpadă Koch este construit după cum urmează. Începeţi cu un segment de dreaptă. Împărţiţi-l în 3 părţi egale. Ştergeţi partea din mijloc şi înlocuiţi-o cu partea superioară a unui triunghi echilateral. Acum, repetaţi această procedură pentru fiecare dintre cele 4 segmente ale acestui al doilea pas. Vedeţi Figura 1. Dacă veţi continua să repetaţi această procedură, curba nu se va intersecta pe sine niciodată, şi, la limită, veţi obţine o formă cunoscută sub numele de fulgul de zăpadă Koch.

În mod surprinzător, fulgul de zăpadă Koch este o curbă de lungime infinită!

Şi, dacă începeţi de la un triunghi echilateral şi realizaţi această procedură pentru fiecare latură, veţi obţine un fulg de zăpadă, care are suprafaţă finită, dar contur de lungime infinită!

Sugestie de prezentare:
Desenaţi figuri. Dacă le place acest fapt distractiv, întrebaţi-i: puteţi să vă daţi seama cum se poate construi un exemplu 3-dimensional? [Indiciu: porniţi cu un tetraedru regulat. Citiţi despre tetraedrul Koch ca să vedeţi ce se întâmplă.]

Matematica din spatele acestui fapt:
Puteţi vedea că acel contur al fulgului de zăpadă are lungime infinită dacă urmăriţi lungimea lui la fiecare pas al procesului, ea creşte de 4/3 ori de fiecare dată când procesul este repetat. Pe de altă parte, suprafaţa din interiorul fulgului creşte precum o serie infinită, care este geometrică şi converge la o suprafaţă finită! Puteţi învăţa despre fractali la un curs despre sisteme dinamice.

Referinţe:
K. Falconer, Fractal Geometry.

Fapt matematic distractiv sugerat de: Jorge Aarao.

Alte menţiuni, ale traducătorului (adică ale mele)

Acest articol a fost publicat iniţial în limba engleză, pe site-ul „Math Fun Facts”, găzduit de către Departamentul de Matematică al Harvey Mudd College. Autorul articolului este profesorul de matematică Francis Edward Su. Traducerea articolului s-a realizat cu acordul autorului. Articolul original este disponibil la:

http://www.math.hmc.edu/funfacts/ffiles/20006.3.shtml

Site-ul „Math Fun Facts” a primit în anul 2006 din partea AMS (American Mathematical Society): Award for an Exemplary Program or Achievement in a Mathematics Department (care s-ar putea traduce: „Premiu pentru un program sau o realizare exemplară într-un departament de matematică”). Site-ul este disponibil la adresa următoare:

http://www.math.hmc.edu/funfacts/

Profesorul Francis Edward Su predă la Departamentul de Matematică al Harvey Mudd College, din Claremont, California, Statele Unite. Acesta şi-a obţinut doctoratul în matematică la Harvard University (din Statele Unite).

Mulţumiri speciale: Îi mulţumesc din suflet pentru că a fost de acord ca o parte din articolele sale, din munca sa, să fie tradusă pe acest blog. Sunt cu adevărat onorat.

Special thanks: I thank Professor Francis Edward Su from the bottom of my heart for offering me the opportunity to translate a few of his articles, from his work, and to include them on this blog. I am truly honored.

Felii de pizza / „Pizza slices”

Etichete

, , , , , , , , , , , ,

Foreword: This article („Pizza slices”) first appeared in English on the „Math Fun Facts” website, and is authored by Professor Francis Edward Su. It has been translated into Romanian by the author’s permission. You can view the original article here:

http://www.math.hmc.edu/funfacts/ffiles/10001.2.shtml

Luaţi o pizza şi alegeţi un punct arbitrar pe ea. Presupuneţi că tăiaţi pizza în 8 felii, tăind la unghiuri de 45 de grade prin acel punct şi coloraţi bucăţile în mod alternativ cu roşu şi verde.

Teoremă surprinzătoare: suprafaţa totală a feliilor roşii şi suprafaţa totală a feliilor verzi vor fi întotdeauna egale!

De fapt, această teoremă este adevărată dacă numărul de felii este orice multiplu de 4, în afară de 4, şi dacă feliile sunt tăiate folosind unghiuri egale printr-un punct fix arbitrar de pe pizza.

Altfel: dacă în loc de unghiuri egale, folosiţi arce de lungimi egale pe circumferinţă şi tăiaţi de la un punct fix arbitrar de pe pizza, concluzia rămâne adevărată dacă numărul de felii este par şi mai mare strict decât 2.

Sugestie de prezentare:
Desenaţi câteva figuri pentru a ilustra nişte cazuri speciale.

Matematica din spatele acestui fapt:
Teorema poate fi demonstrată folosind analiza şi coordonatele polare. Referinţa oferă contextul şi generalizări.

Referinţe:
J. Konhauser, D. Velleman, S. Wagon, Which way did the bicycle go?, pp. 20, 117-122.

Fapt matematic distractiv sugerat de: Francis Su.

Alte menţiuni, ale traducătorului (adică ale mele)

Acest articol a fost publicat iniţial în limba engleză, pe site-ul „Math Fun Facts”, găzduit de către Departamentul de Matematică al Harvey Mudd College. Autorul articolului este profesorul de matematică Francis Edward Su. Traducerea articolului s-a realizat cu acordul autorului. Articolul original este disponibil la:

http://www.math.hmc.edu/funfacts/ffiles/10001.2.shtml

Site-ul „Math Fun Facts” a primit în anul 2006 din partea AMS (American Mathematical Society): Award for an Exemplary Program or Achievement in a Mathematics Department (care s-ar putea traduce: „Premiu pentru un program sau o realizare exemplară într-un departament de matematică”). Site-ul este disponibil la adresa următoare:

http://www.math.hmc.edu/funfacts/

Profesorul Francis Edward Su predă la Departamentul de Matematică al Harvey Mudd College, din Claremont, California, Statele Unite. Acesta şi-a obţinut doctoratul în matematică la Harvard University (din Statele Unite).

Mulţumiri speciale: Îi mulţumesc din suflet pentru că a fost de acord ca o parte din articolele sale, din munca sa, să fie tradusă pe acest blog. Sunt cu adevărat onorat.

Special thanks: I thank Professor Francis Edward Su from the bottom of my heart for offering me the opportunity to translate a few of his articles, from his work, and to include them on this blog. I am truly honored.

Toate numerele sunt interesante / „All Numbers are Interesting”

Etichete

, , , , , , , , , , , ,

Foreword: This article („All Numbers are Interesting”) first appeared in English on the „Math Fun Facts” website, and is authored by Professor Francis Edward Su. It has been translated into Romanian by the author’s permission. You can view the original article here:

http://www.math.hmc.edu/funfacts/ffiles/20004.8.shtml

Sunt, în mod clar, multe numere naturale interesante. Spre exemplu, 2 este singurul număr prim par, 3 este primul număr prim impar, 6 este un număr perfect (suma tuturor divizorilor proprii este numărul însuşi), etc.

Dar ştiaţi că toate numerele naturale sunt interesante? Vom demonstra această afirmaţie aici.

Presupunem, prin reducere la absurd, că nu toate numerele naturale sunt interesante. Folosind proprietatea mulţimii numerelor naturale de a fi bine ordonată, printre numerele neinteresante există un cel mai mic număr neinteresant N. Dar aceasta ar face ca N să fie interesant şi, prin urmare, am avea o contradicţie.

Aşadar, toate numerele sunt interesante.

Matematica din spatele acestui fapt:
Acesta este un model destul de amuzant al unei demonstraţii prin reducere la absurd şi probabil că nu ar trebui să fie luat prea în serios!

Fapt matematic distractiv sugerat de: Francis Su.

Alte menţiuni, ale traducătorului (adică ale mele)

  • Spus simplu: o mulţime ordonată se numeşte mulţime bine ordonată dacă orice submulţime nevidă a sa admite un cel mai mic element.

Acest articol a fost publicat iniţial în limba engleză, pe site-ul „Math Fun Facts”, găzduit de către Departamentul de Matematică al Harvey Mudd College. Autorul articolului este profesorul de matematică Francis Edward Su. Traducerea articolului s-a realizat cu acordul autorului. Articolul original este disponibil la:

http://www.math.hmc.edu/funfacts/ffiles/20004.8.shtml

Site-ul „Math Fun Facts” a primit în anul 2006 din partea AMS (American Mathematical Society): Award for an Exemplary Program or Achievement in a Mathematics Department (care s-ar putea traduce: „Premiu pentru un program sau o realizare exemplară într-un departament de matematică”). Site-ul este disponibil la adresa următoare:

http://www.math.hmc.edu/funfacts/

Profesorul Francis Edward Su predă la Departamentul de Matematică al Harvey Mudd College, din Claremont, California, Statele Unite. Acesta şi-a obţinut doctoratul în matematică la Harvard University (din Statele Unite).

Mulţumiri speciale: Îi mulţumesc din suflet pentru că a fost de acord ca o parte din articolele sale, din munca sa, să fie tradusă pe acest blog. Sunt cu adevărat onorat.

Special thanks: I thank Professor Francis Edward Su from the bottom of my heart for offering me the opportunity to translate a few of his articles, from his work, and to include them on this blog. I am truly honored.

Toţi caii sunt de aceeaşi culoare / „All Horses are the Same Color”

Etichete

, , , , , , , , , , , , ,

Foreword: This article („All Horses are the Same Color”) first appeared in English on the „Math Fun Facts” website, and is authored by Professor Francis Edward Su. It has been translated into Romanian by the author’s permission. You can view the original article here:

http://www.math.hmc.edu/funfacts/ffiles/30002.8.shtml

Dacă ştiţi cum să demonstraţi lucruri prin inducţie, atunci acesta este un fapt uimitor:

Teoremă. Toţi caii sunt de aceeaşi culoare.

Demonstraţie. Vom folosi inducţia în funcţie de numărul de cai. Verificare: 1 cal. În mod clar, dacă există doar 1 cal, atunci toţi caii sunt de aceeaşi culoare.

Acum, pentru pasul de inducţie: vom arăta că dacă este adevărat pentru orice grup de N cai că toţi au aceeaşi culoare, atunci este adevărat pentru orice grup de N+1 cai.

Aşadar, oricare ar fi mulţimea de N+1 cai, dacă excludeţi ultimul cal, obţineţi o mulţime de N cai. Din ipoteza pasului de inducţie, ştim că aceşti N cai au toţi aceeaşi culoare. Dar excluzând primul cal din mulţimea de N+1 cai, puteţi trage concluzia că ultimii N cai au de asemenea aceeaşi culoare. Deci toţi N+1 caii au aceeaşi culoare. QED.

Hmmn… în mod clar nu toţi caii au aceeaşi culoare. Deci ce e greşit la această demonstraţie prin inducţie?

Sugestie de prezentare:
Această enigmă fermecătoare este un test excelent pentru cât de bine au înţeles elevii demonstraţiile prin inducţie.

Matematica din spatele acestui fapt:
Indiciu: ce poate fi greşit? Aţi făcut verificarea. Şi aţi demonstrat pasul de inducţie, nu?

Păi, de fapt, demonstraţia din pasul de inducţie s-a rupt în trecerea de la n=1 la n=2, deoarece primul 1 cal şi ultimul 1 cal nu au cai în comun, şi prin urmare ei s-ar putea să nu aibă toţi aceeaşi culoare.

Fapt matematic distractiv sugerat de: Arthur Benjamin.

Alte menţiuni, ale traducătorului (adică ale mele)

Acest articol a fost publicat iniţial în limba engleză, pe site-ul „Math Fun Facts”, găzduit de către Departamentul de Matematică al Harvey Mudd College. Autorul articolului este profesorul de matematică Francis Edward Su. Traducerea articolului s-a realizat cu acordul autorului. Articolul original este disponibil la:

http://www.math.hmc.edu/funfacts/ffiles/30002.8.shtml

Site-ul „Math Fun Facts” a primit în anul 2006 din partea AMS (American Mathematical Society): Award for an Exemplary Program or Achievement in a Mathematics Department (care s-ar putea traduce: „Premiu pentru un program sau o realizare exemplară într-un departament de matematică”). Site-ul este disponibil la adresa următoare:

http://www.math.hmc.edu/funfacts/

Profesorul Francis Edward Su predă la Departamentul de Matematică al Harvey Mudd College, din Claremont, California, Statele Unite. Acesta şi-a obţinut doctoratul în matematică la Harvard University (din Statele Unite).

Mulţumiri speciale: Îi mulţumesc din suflet pentru că a fost de acord ca o parte din articolele sale, din munca sa, să fie tradusă pe acest blog. Sunt cu adevărat onorat.

Special thanks: I thank Professor Francis Edward Su from the bottom of my heart for offering me the opportunity to translate a few of his articles, from his work, and to include them on this blog. I am truly honored.

Cercul lui Euler / Euler’s circle

Etichete

, , , , , , , , , , , , ,

RO: Desenul pentru următoarea teoremă se poate face foarte uşor în „GeoGebra” (aceasta, însă, nu înseamnă că trebuie să renunţăm la desenele făcute de mână – au şi ele farmecul lor).

Teoremă  (Cercul lui Euler sau Cercul celor nouă puncte):  Fie triunghiul \triangle ABC. Dacă notăm picioarele înălţimilor duse din vârfurile \hat{A}, \hat{B}\hat{C} cu D, E şi, respectiv, F, apoi mijloacele laturilor triunghiului ([BC], [CA] şi [AB]) cu A’, B’, respectiv C’, ortocentrul triunghiului \triangle ABC  cu H iar mijloacele segmentelor formate de ortocentru cu vârfurile triunghiului ([AH], [BH], [CH]) cu A_1B_1, respectiv C_1, atunci punctele (nouă la număr) D, E, F, A’, B’, C’, A_1B_1 şi C_1 sunt conciclice (se află pe acelaşi cerc). Acest cerc se numeşte „cercul lui Euler” (Leonhard Euler, 1707-1783, matematician şi fizician elveţian).

“GeoGebra” este un program care are şi interfaţă grafică (deci poate uşura mult munca celor care nu au mai folosit astfel de programe) şi poate fi folosit pentru realizarea de aplicaţii în domeniile geometrie, algebră, statistică şi analiză. Software-ul “GeoGebra” este disponibil gratuit. Site-ul lor oficial este:

http://www.geogebra.org/cms/en/

EN: The drawing for the following theorem can be made easily in „GeoGebra” (this, however, does not mean that we should give up on drawing by hand – it does have its charm).

Theorem  (Euler’s circle or the nine-point-circle):  Let \triangle ABC be a triangle. If we use the following notation: points D, E, and F are the feet of the altitudes from the vertices \hat{A}, \hat{B} and, respectively, \hat{C}, points A’, B’, C’ are the midpoints of the triangle’s sides ([BC], [CA] and, respectively, [AB]), point H is the orthocenter of the triangle \triangle ABC and points A_1, B_1, C_1 are, respectively, the midpoints of the line segments from each vertex of the triangle to the orthocenter ([AH], [BH], [CH]), then the points (they are nine) D, E, F, A’, B’, C’, A_1, B_1 and C_1 are concyclic (i.e., they are located on the same circle). This circle is called „Euler’s circle” (Leonhard Euler, 1707-1783, Swiss mathematician and physicist).

“GeoGebra” is a software which also has a graphical user interface (GUI) (so it can make work easier for those who have never used programs of this kind before) and it can be used for applications in the areas of geometry, algebra, statistics and calculus. “GeoGebra” is available for free. Their official site is:

http://www.geogebra.org/cms/en/

Vă mulţumesc! / Thank you!